Трудный выбор Марио

В далекой стране, где живут герои 8-битных игр, появилась проблема у всем известного персонажа — Марио. После стольких лет приключений он собрал огромное количество грибов и теперь сомневается, как правильнее с ними поступить. Кажется, Марио пора узнать об интересной и полезной сфере математики — комбинаторике, формулы которой станут работающим инструментом для нашего героя.

Марио всегда был трудолюбивым и старательным, но недавно понял, что не справляется с тем количеством грибов, которое у него есть. Мы решили помочь Марио и  рассказать ему о всех тонкостях комбинаторики, научить применять ее в повседневных ситуациях.

Подпольные запасы

Марио ведет нас в погреб и показывает большую коллекцию грибов. Самый известный водопроводчик в мире озадачен расположением нового пополнения своих запасов: мы насчитали 20 грибов, лежащих в хаотичном порядке. Марио интересно узнать, сколькими способами чисто гипотетически можно расположить грибы. У него как раз есть 20 свободных ящичков в погребе. Кажется, мы знаем, как это сделать. Существует волшебная формула, которая поможет Марио, — формула числа перестановок из n элементов. Правда, после того как Марио узнаёт результат, идея перепробовать все способы расположения новой части коллекции, чтобы выявить наиболее подходящий, не кажется ему такой привлекательной.

Посчитаем количество расположений грибов:

Р = n! = 20! = 1ˣ2ˣ3ˣ...ˣ20  = 2 432 902 008 176 640 000 

*Напоминаем, что n с восклицательным знаком — это факториал числа n: произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Подарочный набор

Во время обхода коллекции в погребе Марио вспоминает, что у его младшего брата Луиджи скоро день рождения — нельзя же оставить близкого человека без презента! Мы предлагаем выбрать десять самых красивых грибов и собрать несколько вариантов подарочной композиции из четырех. Для этого случая существует другая формула, которая поможет Марио определить, из скольких вариантов ему нужно выбрать, — формула числа сочетаний из n элементов по m. Непростая задача — остановиться на одной композиции из более двух сотен вариантов.

Сосчитаем количество вариаций подарка по формуле

 

Выставка мечты

На дне рождения брата Марио сообщает прекрасную новость — он открывает собственную выставку грибов и приглашает всех гостей посетить ее. Так как Марио решил показать публике лишь жемчужины своей коллекции, экспозиция небольшая и будет располагаться в витрине с тремя полками по три места на каждой. Марио нужно определить, на какое количество дней арендовать место в выставочном пространстве, чтобы ежедневно показывать новый вариант расположения трех своих самых красивых грибов.

Здесь Марио вновь пригодится наш совет. Нужно понять, какое количество вариантов расположения экспонатов существует. Порядок их размещения имеет большое значение: Марио убежден, что необходимо показать все возможные комбинации грибов. Экспонаты по-особенному сочетаются друг с другом, поэтому нельзя упустить ни единого варианта. И на этот случай мы знаем кое-что подходящее — формулу числа размещений из n элементов по m. Больше года потребуется Марио, чтобы показать грибы так, как он хочет.

Рассчитаем количество дней выставки по формуле

 

Мы рады, что помогли Марио в решении таких важных для него задач. Теперь он сможет сам применять формулы комбинаторики и, надеемся, расскажет о ней друзьям. А может, и вы это сделаете?

Материал опубликован в журнале NewTone